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人文科普：端午別只知道吃，來(lái)看看粽子里面的幾何學(xué)

來(lái)源：科普中國(guó)-科普融合創(chuàng)作與傳播

發(fā)布時(shí)間：2020-11-11

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　　粽子是端午節(jié)期間不可缺少的傳統(tǒng)美食，中國(guó)的粽子不僅餡料豐富多樣，形狀也是五花八門(mén)，有竹筒形、長(zhǎng)方形、圓錐形、金字塔形、三角形等，但是最常見(jiàn)的還是“四角粽子”，也就是四面體形狀的粽子，接下來(lái)我們就從幾何學(xué)角度，來(lái)解析一下粽子中的門(mén)道。
　　圖片8(gai)

　　四面體在現(xiàn)實(shí)生活中不太常見(jiàn)，僅僅聽(tīng)名字也難以想象它的形狀，其實(shí)它還有個(gè)更容易被接受的名字——三棱錐。所有三棱錐都有六條棱，四個(gè)角、四個(gè)面，每個(gè)面都是三角形，每個(gè)三角形面都與一個(gè)角相對(duì)，底面是正三角形，其他三個(gè)面相等（一定是等腰三角形）的三棱錐，被稱(chēng)為正三棱錐，如果底面和其他三個(gè)面完全相等，此時(shí)四個(gè)面一定都是正三角形，那么這就叫做正四面體。
　　粽子做成正四面體有什么好處？
　　以長(zhǎng)方體、立方體為代表的平行六面體，其實(shí)切下一個(gè)角都可以構(gòu)成一個(gè)四面體。但是為什么大多數(shù)人都不將粽子做成長(zhǎng)方體，而是做成有些奇怪的四面體呢？首先，不同于平行六面體的不穩(wěn)定性（例如立方體框架可以左右搖晃），四面體的性質(zhì)非常穩(wěn)定，只要確定六條棱的長(zhǎng)度，就能拼出一個(gè)唯一的四面體。因此四面體的粽子更不容易變形。
　　四角粽子雖然不一定是正四面體，但通常四個(gè)面也是相同的等腰三角形，將這個(gè)四面體的表面積拆開(kāi)，可以得到兩個(gè)相等的菱形，這就意味著用兩片相似的細(xì)長(zhǎng)葉子，正好可以將其包裹住，做到了物盡其用。
　　正四面體還有個(gè)特點(diǎn)，就是擁有四條三重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)軸，六個(gè)對(duì)稱(chēng)面，每?jī)蓷l對(duì)邊都是相互垂直的，這就表明，不管在容器中怎樣擺盤(pán)，粽子們看上去都是整整齊齊的平躺著，不會(huì)給人橫躺側(cè)臥的感覺(jué)。
　　正三棱錐還有一個(gè)重心，同時(shí)也是它的外接球體和內(nèi)切球體的球心，就在頂點(diǎn)與底面重心的連線（高）上，將這條高分為3：1，也就是距離地面四分之一處。所以說(shuō)，如果用牙簽或筷子將粽子扎起來(lái)，找準(zhǔn)這個(gè)點(diǎn)，就最能保證受力均勻，不容易掉下或者碎裂。
　　?
　　

　　圖片來(lái)源：image.so.com
　　正四面體的體積——一場(chǎng)穿越時(shí)間和空間的考證
　　粽子從外觀上看，不太容易看出它的體積。雖然四面體的體積和圓錐形一樣，是三分之一的底面積乘以高，但底面積和高也是不容易拿著直尺就測(cè)出來(lái)的。
　　阿基米德的排水法當(dāng)然可以幫助快速地測(cè)出體積，但是要準(zhǔn)備的量杯也不是太常見(jiàn)，而且粽子濕了之后，剝皮仿佛會(huì)更麻煩一些。這時(shí)候用到一個(gè)特殊的公式，只要知道六條棱的長(zhǎng)度，就能知道四面體的體積。
　　這個(gè)公式名字叫海倫-秦九韶公式。由古希臘和古中國(guó)兩位數(shù)學(xué)家分別發(fā)現(xiàn)。第一位發(fā)現(xiàn)者是海倫二世，又譯為海龍、希倫、希羅等，是古希臘西西里島（現(xiàn)屬于意大利）上的錫拉庫(kù)薩（又譯為敘拉古）城邦國(guó)的國(guó)王，同時(shí)也是一位數(shù)學(xué)家、測(cè)量學(xué)家和機(jī)械工程師。他在著作《度量論》中就提到了用三角形的三條邊求其面積的公式。這本書(shū)曾經(jīng)一度失傳，直到1896年，有人在君士坦丁堡發(fā)現(xiàn)了它的手抄本，并在1903年出版。但是五年后的1908年，就有人提出，這條公式其實(shí)是阿基米德發(fā)現(xiàn)的，只是假托海倫國(guó)王的名字，不過(guò)還沒(méi)有證實(shí)。
　　不管在古希臘是哪位發(fā)現(xiàn)了這個(gè)公式，在中國(guó)的南宋時(shí)期，數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》提出了“三斜求積術(shù)”，主要用來(lái)測(cè)量三角形的土地面積，和海倫公式基本相同，只是證明方法不太一樣。這個(gè)公式是S=?（p為周長(zhǎng)的一半）。
　　

　　圖片來(lái)源：image.so.com?
　　但是，海倫-秦九韶的公式都是用來(lái)算面積的，要想算體積還需要進(jìn)一步加工。但是算出了底面積之后算出高也并不難，假設(shè)六條棱分別是a、b、c、d、e、f，經(jīng)過(guò)推演，最后可以得出如下公式：
　　V=1/12?
　　D=b^2+c^2-d^2
　　E=a^2+c^2-e^2
　　F=a^2+b^2-f^2
　　小小一個(gè)四面體的粽子，竟然有這么多幾何學(xué)知識(shí)在其中，喜歡數(shù)學(xué)的朋友們不妨多觀察一下，會(huì)有更多有趣的發(fā)現(xiàn)。
　　（本文中標(biāo)明來(lái)源的圖片均已獲得授權(quán)）?
　　出品：科普中國(guó)?
　　制作：《知識(shí)就是力量》微平臺(tái)?朱廣思?
　　監(jiān)制：中國(guó)科學(xué)院計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)信息中心?

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