人文科普：費(fèi)馬大定理這三百年，鬼知道它究竟經(jīng)歷了什么
發(fā)布時(shí)間：2020-11-20
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　　在通往真理的道路上，到處都布滿陷阱。
　　美國(guó)作家索洛曾說(shuō)：美國(guó)鐵路的每一根枕木下面都橫臥著一具愛(ài)爾蘭工人的尸首。正是早期無(wú)數(shù)人的血汗鑄就了今日的文明成就。同樣，在征服費(fèi)馬大定理三百多年的歷程里，也有眾多人類最耀眼的科學(xué)明星一同鋪就通往明天的鐵路。
　　????費(fèi)馬本人對(duì)大定理雖然一筆帶過(guò)，卻也留下了自己對(duì)這個(gè)問(wèn)題的初步思考。他在另外一篇文章里，簡(jiǎn)單敘述了如何證明當(dāng)“n=4”的時(shí)候，方程“(x^4)+(y^4)=(z^4)”不存在正整數(shù)解。不過(guò)費(fèi)馬對(duì)大定理的研究也止步于此，他并沒(méi)有給出對(duì)其他自然數(shù)n的相關(guān)證明。在聽(tīng)聞費(fèi)馬的評(píng)注之后，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）也獨(dú)立證明了“n=4”的情形,證明的手法與費(fèi)馬如出一轍。
　　在費(fèi)馬大定理提出后，18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一歐拉（Euler）成為取得重大進(jìn)展的第一人。1770年，歐拉證明了當(dāng)“n=3”的時(shí)候，費(fèi)馬大定理成立。　　?
　　此后，人們對(duì)費(fèi)馬大定理的證明進(jìn)入了漫長(zhǎng)的黑暗期。到了19世紀(jì)初，費(fèi)馬大定理已經(jīng)成為數(shù)論中最著名的問(wèn)題。就在人們一籌莫展的時(shí)候，一位年輕的法國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家索菲·熱爾曼（Sophie Germain）帶來(lái)了激動(dòng)人心的突破。她對(duì)一類被后人稱為熱爾曼素?cái)?shù)的自然數(shù)，證明了方程“大概”不存在整數(shù)解。
　　
　　數(shù)學(xué)家索菲·熱爾曼（圖片來(lái)源：百度圖片）
　　????1825年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet）和法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德（Legendre）使用熱爾曼的方法成功地證明了大定理對(duì)“n=5”的時(shí)候成立。
　　????14年后的1839年，另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家拉梅（Lame）在熱爾曼的工作進(jìn)一步優(yōu)化的基礎(chǔ)上，一舉證明了“n=7”的情形。
　　????熱爾曼的工作似乎為費(fèi)馬大定理指出了一條光明的大道。法國(guó)科學(xué)院于是設(shè)立了一系列的獎(jiǎng)項(xiàng)，以獎(jiǎng)勵(lì)最終能證明費(fèi)馬大定理的數(shù)學(xué)家。法國(guó)科學(xué)家柯西（Cauchy）和拉梅都參與到這場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中。他們?cè)Q已經(jīng)證明了費(fèi)馬大定理，然而事實(shí)上，兩人都以失敗告終。　　?
　　????19世紀(jì)的星空注定不是最耀眼的時(shí)刻，真理仍然在黑暗中匍匐前行。這一百年間，費(fèi)馬大定理最為關(guān)鍵性的貢獻(xiàn)來(lái)自于德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺枺↘ummer）。他創(chuàng)立了理想數(shù)理論，為代數(shù)數(shù)論奠定了基礎(chǔ)。庫(kù)默爾證明當(dāng)n＜100時(shí)除37、59、67三數(shù)外費(fèi)馬大定理均成立，研究數(shù)論的技術(shù)在庫(kù)默爾這里到達(dá)了巔峰。然而，對(duì)類似費(fèi)馬大定理這樣的難題的證明來(lái)說(shuō)，萬(wàn)里長(zhǎng)征，才僅僅走了一小半。
　　
　　數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺枺▓D片來(lái)源：百度圖片）
　　????庫(kù)默爾的工作給數(shù)學(xué)家們帶來(lái)了前所未有的希望和迷茫。一方面，費(fèi)馬大定理證明因?yàn)閹?kù)默爾發(fā)明的工具和理念而取得驚人的進(jìn)展；而另一方面，庫(kù)默爾的手法又讓證明大定理的希望變得更加渺茫。沿著庫(kù)默爾開(kāi)創(chuàng)的道路走下去，既看不到終點(diǎn)，也看不清方向，大定理的證明還被籠罩在一片迷霧之中。曙光，還將留給20世紀(jì)的晨曦。
　　?
　　????到了20世紀(jì)初，費(fèi)馬大定理雖然在數(shù)學(xué)家心目中占據(jù)著獨(dú)特的位置，卻已經(jīng)漸漸失去了光澤。解決這個(gè)古老問(wèn)題的嘗試被私下嘲諷為煉金術(shù)一般，只有瘋子和偏執(zhí)狂才會(huì)去做這樣荒謬的夢(mèng)。此時(shí)，只有一劑強(qiáng)心針才能挽救人們對(duì)費(fèi)馬大定理的信心。
　　?
　　
　　實(shí)業(yè)家沃爾夫斯凱爾（圖片來(lái)源：百度圖片）
　　????1908年，對(duì)大定理的研究因?yàn)檫_(dá)姆斯塔特的一位德國(guó)實(shí)業(yè)家沃爾夫斯凱爾（Wolfskehl）而得到新生。這更為費(fèi)馬大定理增添了不可思議的傳奇色彩。
　　沃爾夫斯凱爾在大學(xué)里學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)，且對(duì)數(shù)論情有獨(dú)鐘。畢業(yè)后，他一方面繼續(xù)家族的經(jīng)商，一方面仍與職業(yè)數(shù)學(xué)家保持著聯(lián)系。
　　????不久，沃爾夫斯凱爾在向一位漂亮的年輕女性求愛(ài)時(shí)遭到了拒絕。自尊心受到強(qiáng)烈挫傷的他在失望下決定自殺。沃爾夫斯凱爾選好了自殺的日子，寫下了遺囑，并在自殺的那一天早早安排好了當(dāng)天所有事情。眼看著自殺的吉時(shí)良辰還沒(méi)到，為了消磨剩下的幾個(gè)小時(shí)，他到圖書館開(kāi)始翻閱數(shù)學(xué)書籍。
　　命運(yùn)隨即開(kāi)啟了一系列奇特的鏈?zhǔn)椒磻?yīng)。沃爾夫斯凱爾看到了庫(kù)默爾的經(jīng)典工作，很快他就被庫(kù)默爾的思想和計(jì)算吸引住了。在他一行行開(kāi)始驗(yàn)算的時(shí)候，突然發(fā)現(xiàn)了庫(kù)默爾證明的一個(gè)漏洞！
　　他仔細(xì)審閱了這個(gè)證明，開(kāi)始思考關(guān)鍵性的補(bǔ)救工作。幸運(yùn)的是，工作到黎明時(shí)分的他終于解決了庫(kù)默爾的問(wèn)題，而此時(shí)距離他自殺的時(shí)間已經(jīng)過(guò)去了。他對(duì)自己能發(fā)現(xiàn)并改正那個(gè)時(shí)代最偉大的數(shù)論學(xué)家?guī)炷瑺柕墓ぷ鞫械綗o(wú)比驕傲，而這個(gè)工作和費(fèi)馬大定理也密切相關(guān)。幸福的情緒很快彌漫在他腦海里，終于讓他放棄了自殺的念頭。
　　沃爾夫斯凱爾撕毀了自己的遺囑。1908年，在他去世之前，新遺囑問(wèn)世。這是一個(gè)讓所有人瞠目結(jié)舌的遺囑。沃爾夫斯凱爾為了感謝這個(gè)挽救過(guò)他生命的復(fù)雜難題，將他大部分的遺產(chǎn)設(shè)立為一個(gè)大獎(jiǎng)，以此獎(jiǎng)勵(lì)第一個(gè)證明費(fèi)馬大定理的人。
　　????沃爾夫斯凱爾的巨額獎(jiǎng)金再一次將費(fèi)馬大定理推上了風(fēng)口浪尖。大定理再次點(diǎn)燃了眾人的熱情，很快吸引了眾多的參與者。
　　????與此同時(shí)，20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展大大出乎人們的意料。1931年，哥德?tīng)枺℅odel）首先證明了令人驚異的不完備定理。該定理指出存在一些問(wèn)題，永遠(yuǎn)無(wú)法被證偽或者證實(shí)。這樣的問(wèn)題被哥德?tīng)柗Q為“不可判定”的問(wèn)題。然而，哥德?tīng)柕淖C明僅僅是理論預(yù)言這類詭異的問(wèn)題，當(dāng)時(shí)人們關(guān)注的重大問(wèn)題中還沒(méi)有出現(xiàn)這樣的異類。到了1963年，美國(guó)數(shù)學(xué)家科恩（Cohen）則首先證明了“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”的不可判定性。
　　哥德?tīng)柕墓ぷ?，加上科恩給出的具體的不可判定的問(wèn)題，讓人們對(duì)“費(fèi)馬大定理”產(chǎn)生了深深的恐懼。如果費(fèi)馬大定理是不可判定的，那么數(shù)個(gè)世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)家花費(fèi)無(wú)數(shù)的時(shí)間卻是在尋找一個(gè)根本不存在的證明。其結(jié)果可能是，費(fèi)馬大定理也許是對(duì)的，但就是無(wú)法證明它。?
　　
　　電影《模仿游戲》中的阿蘭·圖靈與圖靈機(jī)（圖片來(lái)源：豆瓣網(wǎng)）
　　盡管如此，在研究費(fèi)馬大定理的過(guò)程中，數(shù)學(xué)家們還是創(chuàng)造了許多新的理論和方法，特別是計(jì)算機(jī)的誕生也為費(fèi)馬大定理的證明提供另一種思路。1955年，n＜4002的情形已經(jīng)得到證實(shí)。此后，隨著計(jì)算機(jī)能力的加強(qiáng)，n的值也被迅速推進(jìn)。1976年德國(guó)數(shù)學(xué)家瓦格斯塔夫證明n＜125000，1985年美國(guó)數(shù)學(xué)家羅瑟證明n＜41000000。然而，從有限到無(wú)窮，仍然是無(wú)法跨越的險(xiǎn)峰天塹，人們?cè)诰徛D難地推進(jìn)著定理的證明。
　　三百年來(lái)，在探索大定理出路的小徑上，已經(jīng)留下無(wú)數(shù)英雄孤獨(dú)的身影。大定理的每一小步，都是數(shù)學(xué)史上濃重的一筆。沒(méi)有人知道，這條小路會(huì)將人們帶向何方。　　?
　　（本文中標(biāo)明來(lái)源的圖片均已獲得授權(quán)）　　
　　出品：科普中國(guó)?
　　制作：黃書煜??
　　監(jiān)制：中國(guó)科學(xué)院計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)信息中心?


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